1. 递归神经网络（TreeRNN）
原图和公式以及说明来自：零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络
RNN循环神经网络处理词序列，但有时候把句子看做是词的序列是不够的，比如『两个外语学院的/学生』与『两个/外语学院的学生』意思不同，为了能够让模型区分出两个不同的意思，模型可借助树结构去处理信息，而不是序列，这就是递归神经网络的作用。当面对按照树/图结构处理信息更有效的任务时，递归神经网络通常都会获得不错的结果。
TreeRNN递归神经网络可以把一个树/图结构信息编码为一个向量，也就是把信息映射到一个语义向量空间中。这个语义向量空间满足某类性质，比如语义相似的向量距离更近。如果两句话（尽管内容不同）它的意思是相似的，那么把它们分别编码后的两个向量的距离也相近；反之就远。如下图所示：
递归神经网络可以将词、句、段、篇按照他们的语义映射到同一个向量空间中，也就是把可组合（树/图结构）的信息表示为一个个有意义的向量。
蓝色表示正面评价，红色表示负面评价。每个节点是一个向量，这个向量表达了以它为根的子树的情感评价。比如”intelligent humor”是正面评价，而”care about cleverness wit or any other kind of intelligent humor”是中性评价。可以看到，模型能够正确的处理doesn’t的含义，将正面评价转变为负面评价。
尽管递归神经网络具有更为强大的表示能力，但是在实际应用中并不太流行。其中一个主要原因是，递归神经网络的输入是树/图结构，而这种结构需要花费很多人工去标注。
1.1. 递归神经网络输出值的计算（正向）
递归神经网络的输入是两个子节点（也可以是多个），输出就是将这两个子节点编码后产生的父节点，父节点的维度和每个子节点是相同的。如下图所示：
C1和C2分别是表示两个子节点的向量，P是表示父节点的向量。子节点和父节点组成一个全连接神经网络，也就是子节点的每个神经元都和父节点的每个神经元两两相连。用矩阵W表示这些连接上的权重，它的维度将是d*2d，其中，d表示每个节点的维度。父节点的计算公式可以写成：
\begin{align}
\mathbf{p} = tanh(W\begin{bmatrix}\mathbf{c}_1\\\mathbf{c}_2\end{bmatrix}+\mathbf{b})
\end{align}
在上式中，tanh是激活函数（当然也可以用其它的激活函数），b是偏置项，它也是一个维度为d的向量。
然后，把产生的父节点的向量和其他子节点的向量再次作为网络的输入，再次产生它们的父节点。如此递归下去，直至整棵树处理完毕。最终，将得到根节点的向量，可以认为它是对整棵树的表示，这样就实现了把树映射为一个向量。在下图中使用递归神经网络处理一棵树，最终得到的向量（整棵树）的表示：
递归神经网络的权重w和偏置项b在所有的节点都是共享的。
1.2. 递归神经网络的训练（反向）
递归神经网络的训练算法BPTS和循环神经网络类似，两者不同之处在于：
● 前者需要将残差从根节点反向传播到各个子节点
● 后者是将残差从当前时刻反向传播到初始时刻
误差项从父节点传递到其子节点的公式：
\begin{align}
\delta_{c_j}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{c_j}}}\\
&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{c}_j}}\frac{\partial{\mathbf{c}_j}}{\partial{\mathbf{net}_{c_j}}}\\
&=W_j^T\delta_p\circ f’(\mathbf{net}_{c_j})
\end{align}
● 误差函数在第l层对权重的梯度为：
\begin{align}
\frac{\partial{E}}{\partial{w_{ji}^{(l)}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{p_j}^{(l)}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{p_j}^{(l)}}}{\partial{w_{ji}^{(l)}}}\\
&=\delta_{p_j}^{(l)}c_i^{(l)}\\
\end{align}
权重梯度是各个层权重梯度之和。即：
\begin{align}
\frac{\partial{E}}{\partial{W}}=\sum_l\frac{\partial{E}}{\partial{W^{(l)}}}
\end{align}
如果使用梯度下降优化算法，那么权重更新公式为：
\begin{align}
W\gets W + \eta\frac{\partial{E}}{\partial{W}}
\end{align}
● 误差函数对第l层偏置项的梯度为：
\begin{align}
\frac{\partial{E}}{\partial{b_j^{(l)}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{p_j}^{(l)}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{p_j}^{(l)}}}{\partial{b_j^{(l)}}}\\
&=\delta_{p_j}^{(l)}\\
\end{align}
偏置项梯度是各个层偏置项梯度之和，即：
\begin{align}
\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}}}=\sum_l\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}^{(l)}}}
\end{align}
如果使用梯度下降优化算法，那么偏置项更新公式为：
\begin{align}
\mathbf{b}\gets \mathbf{b} + \eta\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}}}
\end{align}
2. 相关应用
2.1 在自然语言处理的应用（NLP）
递归神经网络能够完成句子的语法分析，产生一颗语法解析树。
2.1 在自然场景的应用
除了自然语言之外，自然场景也具有可组合的性质。因此可以用类似的模型完成自然场景的解析，如下图所示：
