Bellman最优解策略 - 蒙特卡罗方法（Monte Carlo Methods）
蒙特卡罗方法又叫统计模拟方法，它使用随机数（或伪随机数）来解决计算的问题，是一类重要的数值计算方法。该方法的名字来源于世界著名的赌城蒙特卡罗，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。
一个简单的例子可以解释蒙特卡罗方法，假设我们需要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如积分）的复杂程度是成正比的。而采用蒙特卡罗方法是怎么计算的呢？首先你把图形放到一个已知面积的方框内，然后假想你有一些豆子，把豆子均匀地朝这个方框内撒，散好后数这个图形之中有多少颗豆子，再根据图形内外豆子的比例来计算面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。
强化学习方法分类：
若已知模型时，马尔科夫决策过程可以利用动态规划的方法来解决。
无模型的强化学习算法主要包括蒙特卡罗方法和时间差分方法。
1. 蒙特卡罗方法（Monte Carlo）
蒙特卡罗方法仅仅需要经验就可以求解最优策略，这些经验可以在线获得或者根据某种模拟机制获得。
要注意的是，仅将蒙特卡罗方法定义在episode task上，所谓的episode task就是指不管采取哪种策略π，都会在有限时间内到达终止状态并获得回报的任务。比如玩棋类游戏，在有限步数以后总能达到输赢或者平局的结果并获得相应回报。
那么什么是经验呢？经验其实就是训练样本。比如在初始状态s，遵循策略π，最终获得了总回报R，这就是一个样本。如果我们有许多这样的样本，就可以估计在状态s下，遵循策略π的期望回报，也就是状态值函数Vπ(s)了。蒙特卡罗方法就是依靠样本的平均回报来解决增强学习问题的。
2. 蒙特卡罗策略改进（Monte Carlo Policy Evalution）
内容来自：强化学习入门 第三讲 蒙特卡罗方法
探索的必要性：状态值函数和行为值函数的计算实际上是计算返回值的期望。动态规划的方法是利用模型对该期望进行计算。在没有模型时，我们可以采用蒙特卡罗的方法计算该期望，即利用随机样本来估计期望。在计算值函数时，蒙特卡罗方法是利用 经验平均 代替随机变量的期望。
如何获得充足的经验是无模型强化学习的核心所在。
在动态规划方法中，为了保证值函数的收敛性，算法会对状态空间中的状态进行逐个扫描。无模型的方法充分评估策略值函数的前提是每个状态都能被访问到。因此，在蒙特卡洛方法中必须采用一定的方法保证每个状态都能被访问到。其中一种方法是探索性初始化。
探索性初始化：是指每个状态都有一定的几率作为初始状态。在给出基于探索性初始化的蒙特卡罗方法前，我们还需要给出策略改进方法，以及便于进行迭代计算的平均方法。
蒙特卡罗策略改进：蒙特卡罗方法利用经验平均对策略值函数进行估计。当值函数被估计出来后，对于每个状态s ，通过最大化动作值函数，来进行策略的改进。即：
\begin{align}
\pi\left(s\right)=\underset{a}{arg\max\textrm{ }}q\left(s,a\right)
\end{align}
递增计算平均的方法：
在探索性初始化中，迭代每一幕时，初始状态是随机分配的，这样可以保证迭代过程中每个状态行为对都能被选中。它蕴含着一个假设，即：假设所有的动作都被无限频繁选中。对于这个假设，有时很难成立，或无法完全保证。
● 如何保证初始状态不变的同时，又能保证报个状态行为对可以被访问到？
答案是：精心地设计你的探索策略，以保证每个状态都能被访问到。
● 可是如何精心地设计探索策略？符合要求的探索策略是什么样的？
答案是：策略必须是温和的，即对所有的状态s 和a 满足：
\begin{align}
\pi\left(a|s\right)>0
\end{align}
也就是说，温和的探索策略是指在任意状态下，采用动作集中每个动作的概率都大于零。典型的温和策略是
\begin{align}
\varepsilon -soft
\end{align}
即：
根据探索策略（行动策略）和评估的策略是否是同一个策略，蒙特卡罗方法又分为on-policy和off-policy.
● 若行动策略和评估及改善的策略是同一个策略，称之为on-policy,可翻译为同策略。
● 若行动策略和评估及改善的策略是不同的策略，称之为off-policy,可翻译为异策略。
まとめ： 以上大概讲解了如何利用MC的方法估计值函数。跟基于动态规划的方法相比，基于MC的方法只是在值函数估计上有所不同。两者在整个框架上是相同的，即对当前策略进行评估，然后利用学到的值函数进行策略改进。
3. 蒙特卡罗（Monte Carlo）VS 拉斯维加斯（Las Vegas）
内容来自：知乎：蒙特卡罗算法是什么？- 孙天齐回答
这里把随机算法分成两类：
蒙特卡罗算法：采样越多，越近似最优解；
拉斯维加斯算法：采样越多，越有机会找到最优解；
● 举个例子，假如筐里有100个苹果，让我每次闭眼拿1个，挑出最大的。于是我随机拿1个，再随机拿1个跟它比，留下大的，再随机拿1个……我每拿一次，留下的苹果都至少不比上次的小。拿的次数越多，挑出的苹果就越大，但我除非拿100次，否则无法肯定挑出了最大的。这个挑苹果的算法，就属于蒙特卡罗算法——尽量找好的，但不保证是最好的。
● 而拉斯维加斯算法，则是另一种情况。假如有一把锁，给我100把钥匙，只有1把是对的。于是我每次随机拿1把钥匙去试，打不开就再换1把。我试的次数越多，打开（最优解）的机会就越大，但在打开之前，那些错的钥匙都是没有用的。这个试钥匙的算法，就是拉斯维加斯的——尽量找最好的，但不保证能找到。
这两个词并不深奥，它只是概括了随机算法的特性，算法本身可能复杂，也可能简单。这两个词本身是两座著名赌城，因为赌博中体现了许多随机算法，所以借过来命名。这两类随机算法之间的选择，往往受到问题的局限。如果问题要求在有限采样内，必须给出一个解，但不要求是最优解，那就要用蒙特卡罗算法。反之，如果问题要求必须给出最优解，但对采样没有限制，那就要用拉斯维加斯算法。
对于机器围棋程序而言，因为每一步棋的运算时间、堆栈空间都是有限的，而且不要求最优解，所以ZEN涉及的随机算法，肯定是蒙特卡罗式的。机器下棋的算法本质都是搜索树，围棋难在它的树宽可以达到好几百（国际象棋只有几十）。在有限时间内要遍历这么宽的树，就只能牺牲深度（俗称“往后看几步”），但围棋又是依赖远见的游戏，甚至不仅是看“几步”的问题。所以，要想保证搜索深度，就只能放弃遍历，改为随机采样——这就是为什么在没有MCTS（蒙特卡罗搜树）类的方法之前，机器围棋的水平几乎是笑话。而采用了MCTS方法后，搜索深度就大大增加了。